Название конференции «Бесконечность в логике, философии и истории математики» неожиданно поставило меня в тупик, поскольку я осознал, что не понимаю самого термина «бесконечность». Это чувство усилилось после фразы Хао Вана «физические явления не подходят для изучения и обоснования математики, сущностью которой является бесконечность» [1], поскольку этот термин связан, видимо, с самой сердце виной математической (логической? — К.С.) деятельности. Проработка текстов Г. Вейля внесла некоторую ясность: «представление об итерации — ряде натуральных чисел — составляет самую основу математического мышления; «бесконечность» математической проблемы базируется, однако, на том, что последний фундамент математики образуют бесконечный ряд натуральных чисел» [2]; «наши умозаключения должны основываться на свидетельствах относительно ясного и простого процесса, посредством которого порождаются натуральные числа», а «эта интуиция возможности «всегда увеличить на единицу» — открытой счетной бесконечности — лежит в основе всей математики» [3]. Однако размышления Г. Вейля могут послужить лишь некоторой базой для ответа на вопрос о том, что такое бесконечность, поскольку сведение бесконечности лишь к счетной бесконечности натурального ряда неудовлетворительно по отношению ко всем разделам математики и логики, поскольку вычислимость (счетность) не всегда основывается на ряде натуральных чисел.
Итак, прежде всего, необходимо определиться с пониманием термина «бесконечность» в более широком смысле. Именно с пониманием, поскольку стандартного определения, в основе которого лежала бы какая-то остенсивная процедура дать невозможно. На бесконечность невозможно указать пальцем. Однако любая остенсивная процедура, любое определение предмета предполагают использование бесконечности, поскольку любое определение является ограничением. С этим, видимо, и связан первоначальный смысл этого термина: бесконечность — то, что препятствует ограничительным процедурам, тот «остаток», который указывает на ограниченность ограничительных процедур. В этом смысле, дать «положительное» определение бесконечности вообще невозможно, ибо бесконечность по своей природе нечто неопределяемое, нечто «отрицательное».
Бесконечное противоположно конечному; бесконечность противостоит человеку, который, как конечное существо, окружен бесконечным. Любая деятельность человека наталкивается на проблему бесконечного, вернее собственно феномен бесконечности и заключается в том, что человек рано или поздно сталкивается с «проблемой», которая мешает его успешной работе. Проблема вообще и есть указатель того, что проделанная ранее попытка «приручения» бесконечности исчерпала себя, а решение проблемы изобретение новых средств и методов работы с бесконечностью. Тем самым бесконечное (проблема бесконечности) — то, с чем трудно работать, то, что не удается «ухватить» известными методами, то, что требует «приручения».
Таким образом, можно говорить не только об узком понимании бесконечности (см. выше понимание Г. Вейля) как, например, проблемы потенциальной и актуальной бесконечности или проблемы континуума, но и понимании бесконечности в более широком контексте, как проблемы неизмеримости, не-формализуемости, не-разрешимости, не-вычислимости, не-эффективности (тезис 1).
Видимо, достаточно остро проблема бесконечного стоит в науке (теоретической деятельности) именно с ней связаны, например, принцип фальсификации К. Поппера и «научная революция» Т. Куна, соотношение неопределенностей В. Гейзенберга и ряд теорем об ограниченностях формализмов (теоремы Тарского, Геделя, Черча—Россера). Можно сформулировать и более сильный тезис: проблема бесконечности — и есть проблема собственно науки. Вне теории этой проблемы вообще не существует. Более того, вслед за Д. Гильбертом, который утверждает, что «мы должны бесконечное в смысле бесконечной совокупности понимать как нечто кажущееся», «бесконечное нигде не реализуется, его нет в природе» [4], можно считать, что проблема бесконечного — это скорее не проблема онтологии, а гносеологии. Конкретизируя эту мысль, можно сказать, что проблема бесконечного — эта проблема выбора подходящего языка описания (тезис 2). Наглядной иллюстрацией вышесказанного может служить ситуация, описанная в фантастическом рассказе, где робот на просьбу разделить торт (единицу) отвечает, что сделать это невозможно (очевидно, в силу невозможности завершить процесс вычисления 1:3 в десятичной системе счисления — К.С.). Однако при переходе к обычным дробям «бесконечность» процесса вычисления исчезает, поскольку 1 : 3 = 1/3. Поэтому неудивительно, что особенно остро проблема бесконечности стоит в математике как образце научности [на это указывает и сходство греческих терминов «mathematike» (математика) «mathema» (наука)]. Собственно, первое проявление проблемы бесконечного открытие феномена несоизмеримости в античной математике (сопоставление этого факта с примером позволяет выдвинуть гипотезу о том, что проблема бесконечности связана, прежде всего, не с геометрией, а с арифметикой, математикой числа).
Второй блок вопросов, связанных с проблемой бесконечного, может быть сформулирован так: как возможно работать с бесконечностью? каким образом конечный интеллект может изучать бесконечное? Позволим себе здесь лишь сформулировать наш тезис — тезис 3 — без приведения какой-либо развернутой аргументации: работать с бесконечностью позволяет логическая (математическая) форма (о понимании термина «логическая форма» см., например в [4], [5]). Именно форма оформляет, ограничивает содержание, превращая бесконечное в конечное.
Необходимо подчеркнуть тесную взаимосвязь тезисов 2 и 3, которые вместе составляют положительный и отрицательный моменты феномена формализации: именно формализация позволяет «приручить» бесконечность (тезис 3), без этого с ней вообще невозможно работать, но за это приходится расплачиваться некоторыми «потерями» (ограничительные результаты логики, математики и физики). Осознание этой дилеммы и составляет собственно проблему бесконечного.
Неудивительно поэтому, что эту проблему (проблему бесконечного как проблему «приручения» бесконечности со всеми вытекающими отсюда отрицательными последствиями) осознали в математике достаточно давно, начиная, видимо, с Н. Кузанского и В. Лейбница, которые считали, что сущность математики состоит в отражении в конечных символах идеи бесконечности (в отличие от Бога, который обладает этой идеей в непосредственной интуиции). Более современные математики различных философских ориентаций также сходны между собой в этом отношении:
Д. Гильберт «Оперирование с бесконечным может стать надежным только через конечное (выделено мной — К.С.)» [6];
Г. Вейль «Величие математики я усматриваю именно в том, что почти во всех ее теоремах в силу самой ее сущности всякий вопрос о бесконечном решается на уровне конечного» [2];
Хао Ван «Чрезвычайно важной целью математической деятельностью является открытие методов, с помощью которых бесконечное может изучаться конечным интеллектом (выделено мной — К.С.)» [1].
Именно эти слова Хао Вана, вынесенные в эпиграф, и составляют главный тезис, обоснованию которого и посвящена данная статья.
Однако, прежде всего, необходимо ответить на одно принципиальное возражение, которое может быть сформулировано в виде вопроса: а зачем вообще необходима бесконечность в математике (логике); может быть необходимо изгнать бесконечность из математики? Заостренная формулировка этого возражения принадлежит Ю. Гуревичу (он, видимо, понимает термин «бесконечность» в узком смысле, т.е. как «счетную бесконечность» Г. Вейля [7]), который считает что развитие современной науки, ориентированной на взаимодействие человека с ЭВМ (появление комплекса наук computer science), должно учитывать принципиальную финитность ресурсов ЭВМ (объем памяти и мощность вычислительных средств), что предполагает разработку прежде всего финитных логических исчислений, как более приспособленных к области computer science.
Проведенный выше анализ проблемы бесконечного позволяет утверждать, что с методологической точки зрения данное противопоставление неверно, поскольку как финитные, так и нефинитные исчисления представляют собой формальные системы с присущими им обеим ограничениями (см. тезис 2 и 3). Речь может идти лишь о необходимости разработки новых методов работы с бесконечностью, поскольку развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем (наиболее принципиальной в данном случае является так называемая P — NP проблема [8]), связанных с созданием эффективных («быстрых») алгоритмов решения задач. Более существенным недостатком тезиса о необходимости изгнании бесконечности из математики (логики) является указание на то, что сама математика как деятельность человека, есть деятельность биологически конечного существа с ограниченными интеллектуальными ресурсами. Поэтому появление ЭВМ на горизонте математики не является принципиально новой ситуацией, которая требует принципиально новых подходов к математике. Обращение к истории человеческого познания показывает, что человечество нашло способ преодоления своих ограничений. Этот способ «приручения» бесконечности связан с использованием особого символьного языка, позволяющем вводить абстракции. Именно абстракции и являются той формой, в которой происходит «кодирование» бесконечности. Анализ истории математики (науки) позволяет увидеть, что существенный прогресс в развитии связан с появлением в ее аппарате новых абстракций, введением в ее язык новых «метапеременных». Как пишет С. Маслов, «особенно нагляден в этом отношении переход от арифметики к алгебре, который связан с появлением «языка X-ов и Y-ов» и правил преобразований в этом языке (И. Шафаревич высказывает даже более сильное утверждение о том, что этот подход (появление новых «объектов» счета и правил оперирования с ними — принцип «координатизации») является сутью алгебраического (и математического вообще — К.С.) метода [10]), поскольку, если до появления «языка X-ов и Y-ов» решение квадратных уравнений было творческой задачей, доступным лишь профессиональным математикам, то после «изобретения» нового языка эта задача стала тривиальной и доступной ученикам средней школы (пример 1).
В качестве более современного примера приведем подход Р. Вейхрауха, создателя интеллектуальной системы FOL, (пример 2). Пусть нам дано следующее аксиоматическое исчисление:
аксиома 1: A º A; акс. 2: (A º B) º (B º A); акс. 3: (A º (B º C) º ((A º B) º C)
правило вывода: A [B], B º C Þ A [С], где A [B] (A [С]) - обозначает высказывание
А с подформулой В (С),
в котором надо построить вывод формулы W: (P º Q) º ((Q º R) º (R º P))
Как отмечается в [11], вывод формулы W в данном исчислении занимает около двух страниц. Однако Р. Вейхрауху удалось значительно упростить данную задачу, предложив следующее правило (метаправило) для исчислений подобного типа:
каждое высказывание W, построенное только из пропозициональных переменных с помощью связки эквивалентности «º» таким образом, что любая пропозициональная переменная p входит в W четное число раз (выделено мной — К.С.), является теоремой [12].
Данное правило позволяет «свести» доказательство некоторой формулы W к простому подсчету «четности» разных переменных, что значительно сокращает «вывод» данной формулы W. Это стало возможным за счет использования при построении вывода новой абстракции — «метапеременной» в терминах С. Маслова — «четного числа», которое в языке логики высказываний невыразимо.
Сформулируем основной тезис данной статьи (тезис 4): для решения проблемы бесконечного необходим переход к принципиально новой «логической форме». При этом, вместе с увеличением выразительных возможностей системы, происходит значительное повышение «дедуктивных» возможностей, поскольку новые выразительные средства позволяют сформулировать новые мощные методы решения «трудных» задач (в терминах С. Маслова, появляется возможность формулирования собственно допустимых правил вывода, существенно сокращающих длину вывода [9]).
Не затрагивая подробно диалектику выразительных и дедуктивных возможностей, отметим две ее существенных особенности. Во-первых, история развития науки показывает, что реальный процесс создания новой логической формы может совершаться двояко: либо путем введения новых абстрактных понятий (см. пример 1) — «декларативный» подход; либо путем формулирования новых допустимых правил (см. пример 2) — «процедурный» подход. Во-вторых, указание на одновременное повышение как выразительных, так и дедуктивных возможностей формальных систем не совпадает с «глобальной» логикой развития формальных систем, заключающейся: 1. в расширении ряда ограничительных результатов по мере их развития (P — NP проблема — для логики высказываний; неразрешимость — для логики предикатов; теорема о неполноте — для первопорядковой арифметики); 2. несовпадении «скорости» развития выразительных и дедуктивных возможностей формальных систем [5].
Как уже отмечалось выше, развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем, связанных с поиском наиболее эффективных алгоритмов. Полноценное решение этих проблем, на наш взгляд, связано с переходом к новому типу логических исчислений — логико-эвристическим исчислениям (исчислениям поиска вывода), выразительные средства которых позволяют фиксировать дополнительную, необходимую для эффективного построения вывода, информацию [13]. При построении таких исчислений необходимо существенным образом использовать информацию о структуре испытуемого объекта S, т.е. исчисление P поиска вывода представляет из себя некоторое метаисчисление над B и S, выводимость в котором объекта k эквивалентна выводимости S в исходном исчислении B. Примеры таких исчислений представлены в работах [14, 15, 16, 17, 18].(с)
http://www.philosophy.ru/library/ksl/katr_010.html Тамъ же ищемъ литературу…
Здесь идётъ оюсуждение…
http://www.psytrance.ru/foruindex.php?showtopic=8800Изъ википедии:
Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь.
Бесконечность чужда нашему непосредственному опыту, и в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.
Также бесконечность неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал:
«… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить на большее число.» (Физика III, 6)
Вообще Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную (под актуальной подразумевая реальность существования бесконечных вещей) и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа, а также указав на пять источников представления о ней:
время
разделение величин
неиссякаемость творящей природы
само понятие границы, толкающее за её пределы
мышление, которое неостановимо
Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.
В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае одно кардинальное число (равно мощности множества) «бесконечнее» другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор.
В матанализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа, плюс и минус бесконечность, применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Сто́ит отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, т.к. любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы (как и многие другие) были введены для сокращения записи более длинных выражений.
Современная физика вплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то есть доступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятие сингулярности, тесно связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: это точка в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёме сосредоточена с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенные доказательства существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находится ещё в стадии разработки.
Цитаты
Эйнштейн: «Две вещи действительно бесконечны: вселенная и человеческая глупость. Впрочем, про вселенную я ещё не уверен».(с)
http://ru.wikipedia.org/wiki/Бесконечность
Здесь о Георге Канторе… Читать….
http://www.ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm Ибо много…
З.Ы. Отъ себя… Дествительно въ рамкахъ курса дискретной математики и теории множестъ проходили т.н. бесконечные множества(континуумы и гиперконтинуумы…)… Всё достаточно просто… Надо только оперировать бесконечностью какъ понятиемъ существеннымъ… Здесь конечно помогаетъ принципы счётности….
Вобщемъ берёмъ учебникъ по теории множествъ и фтыкаемъ…
Гость » 06 мар 2007, 00:13:57 
)
